\chapter{欧拉(1748)三维波动方程的推导研究}
	
	\begin{abstract}
		本文详细分析了莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)于1748年对三维波动方程的原创性推导过程。通过考察欧拉原始文献《关于空气的声传播》(Dé propagation du son)，我们重构了其从基本物理原理出发，建立三维声波传播数学模型的关键步骤。欧拉的这项工作不仅奠定了现代数学物理方程的基础，也为偏微分方程理论的发展提供了重要范例。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	波动方程作为描述振动传播的核心数学模型，其三维形式的建立是数学物理学史上的重要里程碑。1748年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在柏林科学院发表了题为《关于空气的声传播》的论文，首次完整推导出三维波动方程\cite{euler1748}。这项工作扩展了此前达朗贝尔关于一维弦振动的研究，将波动理论推广到更一般的三维情形。
	
	\section{欧拉的推导过程}
	\subsection{物理背景}
	欧拉考虑空气作为弹性介质，其压强$p$与密度$\rho$的小幅扰动传播问题。他基于以下物理假设：
	
	\begin{itemize}
		\item 空气介质服从连续介质假设
		\item 只考虑微小振动，忽略高阶非线性效应
		\item 介质恢复力与压缩率成正比
	\end{itemize}
	
	\subsection{数学建模}
	设$u(x,y,z,t)$表示空气粒子在位置$(x,y,z)$和时间$t$的位移分量。欧拉通过分析无限小体积元的动力学行为，建立了如下关系：
	
	质量守恒方程：
	\begin{equation}
		\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0
	\end{equation}
	
	运动方程（欧拉方程）：
	\begin{equation}
		\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p
	\end{equation}
	
	对于小振幅振动，可线性化为：
	\begin{equation}
		\rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = -\nabla p
	\end{equation}
	
	结合等温状态方程$p = c^2 \rho$，最终导出：
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{u}
	\end{equation}
	
	其中$c$为声速，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。
	
	\subsection{标量形式}
	对于势函数$\phi$，欧拉得到标量波动方程：
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \right)
	\end{equation}
	
	\section{历史意义}
	欧拉的推导具有多重历史意义：
	
	\begin{enumerate}
		\item 首次完整提出三维波动方程
		\item 建立了声学理论的数学基础
		\item 为偏微分方程理论发展提供范例
		\item 启发了后续对更复杂波动现象的研究
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	欧拉1748年的工作标志着数学物理方程发展的重要转折点。其推导过程展现了将物理直觉与数学严谨性结合的典范，至今仍是数学物理教学的经典案例。三维波动方程的建立不仅解决了声传播的基本问题，也为后来的电磁理论和量子力学奠定了基础。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{euler1748} 
		Euler, L. (1748). \textit{Dé propagation du son}. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin.
		
		\bibitem{whittaker1987}
		Whittaker, E. T. (1987). \textit{A History of the Theories of Aether and Electricity}. Dover.
		
		\bibitem{grattan2012}
		Grattan-Guinness, I. (2012). \textit{The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann}. MIT Press.
	\end{thebibliography}
	